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浮点数运算的精度损失

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浮点数运算的精度损失

接上一条

上次留了一个问题，就是为什么在编程语言中用 float 类型的 0.3 + 0.6，结果会是 0.899999…，而不是 0.9。

要想弄明白这个问题，必须先搞清楚两件事：

十进制小数如何转换成二进制浮点数
浮点数如何做加法运算

十进制小数 → 二进制浮点数

首先说一下，十进制小数如何转换成二进制浮点数。十进制小数要想转换成二进制，要把小数部分乘以 2，乘积记做 r，如果 r > 1，则记下 1，令 $r = (r - 1) \times 2$ ，继续循环操作；如果 r < 1，则记下 0，令 $r=r\times 2$ ，继续循环操作；如果 r = 1，则记下 1，计算结束。计算过程的伪代码如下：

 r = n * 2  // n 是十进制的小数
 s = "0."   // s 是最终结果，用字符串表示
 while r != 1:
     if r > 1:
         s += '1'
         r = (r - 1) * 2
     else if r < 1:
         s += '0'
         r *= 2
 s += '1'

当我们尝试把十进制的 0.3 转换成二进制时，你会发现，我们得到的是 0.0100110011…，这里的「0011」会无限循环下去，如果用上面这段伪代码去计算 0.3 的二进制，它会陷入死循环，永远无法结束！按照上次讲的 IEEE-754 标准，0.3 应该表示成 $(-1)^0\times 1.00110011\dots \times 2^{-2}$ ，如果在计算机中存储为 32 位的浮点数，即 float，就是这样：

虽然小数点部分的「0011」是无限循环的，但是计算机的位数是有限的，以 float 为例，小数点后的有效数位长度只有 23，超过 23 位的部分都被「截」掉了，所以计算机是无法精确表示 0.3 的。虽然 64 位浮点数 double 的有效数位更长，但是对于小数点后无限循环的二进制小数来说，double 同样无法精确表示，顶多就是精度比 float 更高而已。

如果你仔细观察，会发现在上图中的有效数位 f 中，最右边的三位是 010。如果按照 00110011… 这样循环下去，取前 23 位，最后得到的数应该是 00110011001100110011001，那么最右边三位应该是 001 才对啊，怎么是 010 呢？这其实涉及到了浮点数的舍入问题。

上面这张图展示了 0.3 的有效数位，上面那行（即白色背景）数字是实际存储在计算机中的，也就是舍入后的，下面那行（绿色背景 + 橙色背景）是舍入前的，其中橙色背景的是需要舍入的部分。默认的舍入规则是舍入到最接近，一样接近的情况下偶数优先。比如上面那张图中，直接舍掉的话结果是 00110011001100110011001，与直接舍掉相比，舍入前的数字显然更接近 00110011001100110011010（不要忘了我们讨论的只是小数部分，前面还有一个默认的「1.」），所以我们最终得到的有效数位 f 就是 00110011001100110011010。

还有一种情况，就是舍入前的有效位数不是无限循环的，比如这样：

这种情况下，只有最右边的 1 需要舍入，而 0.001100110011001100110011 与 0.00110011001100110011001 和 0.00110011001100110011010 的距离是一样的，都相差 0.000000000000000000000001，这时就按照偶数优先的原则，让 1 进位，得到 0.00110011001100110011010。

IEEE 标准总共列出了 4 种不同的方法：

舍入到最接近：舍入到最接近，在一样接近的情况下偶数优先（Ties To Even，这是默认的舍入方式）：会将结果舍入为最接近且可以表示的值，但是当存在两个数一样接近的时候，则取其中的偶数（在二进制中是以 0 结尾的）。
朝 +∞ 方向舍入：会将结果朝正无限大的方向舍入。
朝 -∞ 方向舍入：会将结果朝负无限大的方向舍入。
朝 0 方向舍入：会将结果朝 0 的方向舍入。

同理，0.6 的 float 表示形式为：

浮点数如何做加法运算

浮点数做加法运算遵循一个原则，那就是先对齐，再计算。

「对齐」指的是对齐指数位 e。两个浮点数相加时，如果 e 不一样，就要先把 e 对齐再做加法运算。如何对齐呢？对齐的原则就是把 e 都统一成其中较大的一个。

比如 0.5 与 0.125 相加，这两个数表示成浮点数分别是 $(-1)^0\times 1.0 \times 2^{-1}$ 和 $(-1)^0\times 1.0 \times 2^{-3}$ ，由于 0.5 的指数大于 0.125 的指数，所以要把 0.125 的指数统一成和 0.5 一样的 -1，指数增大，那么有效数位要右移，因为 f 前面默认有个 1，所以右移之后，0.125 的有效数位变成了 01，然后将 0.5 的有效数位与 0.125 的有效数位相加，结果还是 01，最终表示成浮点数就是 $(-1)^0\times 1.01 \times 2^{-1}$ 。

如果有效数位相加的过程中得到的结果大于 1 了，那么要让有效数位进行右移，同时指数增加相应的值，右移了几位，指数就加几。右移时必然会有丢失的有效数，如果这些有效数都是 0 还好，不会有影响，如果丢失的有效数中包含 1，就要按照前面讲的舍入规则进行舍入，从而造成了精度损失。

如果两个相加的单精度浮点数的指数位相差超过了了 23，也就是差不多 1600 万倍，那么相加的结果就等于较大的那个数。你可以在 Java 中用 float 类型的 2000 万加 1，循环 1000 万次，看看结果是多少。

现在我们来看一下为什么 0.3 + 0.6 = 0.8999999999999999。

开头那张图我是用 Python3 算的，Python3 默认是使用 64 位的浮点数，所以 0.3 和 0.6 的浮点数表示形式如下：

0.3 ：

0.6：

注意，这个时候其实计算机中存的已经不是精确的 0.3 和 0.6 了，然后按照我们刚才讲的浮点数加法运算的规则，先对齐，再计算，得到的结果是：

把这个结果换算成十进制，就是 0.8999999999999999。

如何避免浮点数运算带来的精度损失也是一个比较有意思的话题，大家感兴趣的话可以搜一下 Kahan Summation 算法。

参考资料：

《计算机组成与设计：硬件 / 软件接口》3.5.1 节