17th

计算机如何做减法？

在计算机中，减法也是通过加法器实现的，因为减一个数相当于加这个数的相反数，比如 10 减 5 相当于 10 加 -5。于是就产生了另外一个问题，计算机怎么表示有符号数。目前普遍采用的方案是补码。我们都知道，如果计算机是 n 位的，那么它能表示的整数范围是 $-2^{n-1} \sim 2^{n-1}-1$，补码的思想是，在表示有符号整数时，用 $0 \sim 2^{n-1}-1$ 表示他们自身，用 $2^{n-1} \sim 2^n-1$ 表示 $-2^{n-1} \sim -1$。

这就可以解释为什么补码表示的负数都是以 1 开头的，并不是因为 1 是符号位，而因为范围在 $2^{n-1} \sim 2^n-1$， 表示负数的这些数，恰好都是以 1 开头。

举个例子，假设有一台 4 位的计算机，那么它能表示的有符号整数的范围是 $-2^{3} \sim 2^3-1$，即 $-8 \sim 7$，那么在补码系统中，其实是用 $8 \sim 15$ 来分别表示 $-8 \sim -1$。比如 -8，用补码表示是 1000，如果单拎出来二进制的 1000，而不考虑其他意思，是不是就是十进制的 8？再比如 -5，用补码表示是 1011，而实际上单纯二进制的 1011 等于十进制的 11。

在十进制中：-8 + 3 = -5

用补码表示就是：1000 + 11 = 1011

而如果我们把上面这个二进制等式直接换算成十进制，不考虑补码，不就是 8 + 3 = 11 吗？

这样就完美地把加法和减法统一起来了。

再看一个现象，在 4 位的计算机中，-1 应该是用 15 来表示，即 1111，1111 + 1 = 10000，由于这台计算机只有 4 位，所以最左边的 1 溢出了，只剩下 0000，也就是 0，刚好满足 -1 + 1 = 0。

所以为什么在 Java 中，Integer.MAX_VALUE + 1 会等于 Integer.MIN_VALUE，因为`Integer.MAX_VALUE 的值是 $2^{31}-1$，而虽然 Integer.MIN_VALUE 的值是 $-2^{31}$，但其实在计算机底层是用 $2^{31}$ 表示的，$2^{31}-1+1$ 不就是等于 $2^{31}$ 嘛。

使用补码还有一个好处是，对于涉及正数和负数的加法，我们可以根据计算结果的符号位来判断是否溢出。一般来说，如果两个操作数的符号位相同，但结果的符号位不同，那么可以认为结果是溢出的。